contoh-contoh soal bangun datar layang-layang

Sebelum kita mempelajari soal berikut ini,sebaiknya kita mempelajari terlebih dahulu materi luas dan keliling layang-layang dan teorema Pythagoras karena itu merupakan konsep dasar yang digunakan untuk menjawab soal di bawah ini .

Soal 1
Perhatikan gambar di bawah ini!

Gambar di atas merupakan sebuah layang-layang dengan panjang sisi yang berdekatan berturut-turut adalah 9 cm dan 12 cm. Hitunglah keliling layang-layang tersebut!

Penyelesaian:

keliling layang dapat dicari dengan menjumlahkan seluruh sisi layang-layang.

Keliling = 2 (BC + CD)

Keliling = 2 (12 cm + 9 cm)

Keliling = 2 (21 cm)

Keliling = 42 cm

Soal 2

Perhatikan gambar layang-layang PQRS di bawah ini!

Jika ∠PQR siku-siku, hitunglah luas layang-layang PQRS tersebut.

Penyelesaian:

Karena ∠PQR siku-siku maka luas layang-layang tersebut dapat dicari dengan menggunkan rumus luas segitiga, dengan alas = QR = 18 m dan tinggi = PQ = 13 m. Dari bangun layang-layang PQRS terdapat dua segitiga siku-siku yaitu ΔPQR dan ΔPRS dengan luas yang sama, maka luas layang-layang dapat dicari dengan menjumlahkan dua luas segitiga siku-siku yakni:

Luas PQRS = Luas ΔPQR + Luas ΔPRS

Luas PQRS = 2 x Luas ΔPQR

Luas PQRS = 2 x ½ x QR x PQ

Luas PQRS = 2 x ½ x 18 m x 13 m

Luas PQRS = 234 m²

Soal 3

Hitunglah luas layang-layang yang panjang diagonal-diagonalnya sebagai berikut.

a. 8 cm dan 12 cm

b. 9 cm dan 16 cm

c. 15 cm dan 18 cm

d. 13 cm dan 21 cm

Penyelesaian:

a. Gunakan rumus luas layang-layang:

L = ½ x d1 x d2

L = ½ x 8 cm x 12 cm

L = 48 cm²

b. Gunakan rumus luas layang-layang:

L = ½ x d1 x d2

L = ½ x 9 cm x 16 cm

L = 72 cm²

c. Gunakan rumus luas layang-layang:

L = ½ x d1 x d2

L = ½ x 15 cm x 18 cm

L = 135 cm²

d. Gunakan rumus luas layang-layang:

L = ½ x d1 x d2

L = ½ x 13 cm x 21 cm

L = 136,5 cm²

Soal 4

Perhatikan gambar layang ABCD di bawah ini. 

 

Jika panjang AC = 24 cm, panjang BC = 20 cm dan luas ABCD = 300 cm², maka tentukanlah panjang AD dan keliling layang-layang ABCD. 

Penyelesaian:

Untuk mencari panjang AD terlebih dahulu cari panjang BD dengan menggunkan rumus luas layang-layang yaitu:

L = ½ x d1 x d2

L = ½ x BD x AC

300 cm² = ½ x BD x 24 cm

BD = 300 cm²/12 cm

BD = 25 cm

Sekarang cari panjang BO dengan rumus teorema Pythagoras yaitu:

BO = √(BC² - CO²)

BO = √(20² - 12²)

BO = √(400 - 144)

BO = √(256)

BO = 16 cm

Sekarang cari panjang DO yaitu:

DO = BD – BO

DO = 25 cm – 16 cm

DO = 9 cm

Dengan menggunkan rumus Phytagoras maka panjang AD dapat dicari yaitu:

AD = √(AO² + DO²)

AD = √(12² + 9²)

AD = √(144 + 81)

AD = √(225)

AD = 15 cm

Keliling bangun layang-layang ABCD dapat dicari dengan menjumlahkan seluruh sisi layang-layang tersebut.

keliling = 2 (AD+BC)

keliling = 2 (15 cm + 20 cm)

keliling = 2 (35 cm)

keliling = 70 cm

Soal 5

Perhatikan gambar di bawah ini.

 

Jika diketahui XZ = 9 cm, WZ = 9 cm, dan VZ = 24 cm. Hitunglah luas layang-layang VWXY. 

Penyelesaian:

Dari gambar tersebut didapat panjang WY = 2 x WZ = 18 cm

Luas VWXY = Luas ΔVWY – Luas ΔWXY

Luas VWXY = ½ x WY x VZ – ½ x WY x XZ

Luas VWXY = ½ x WY (VZ – XZ)

Luas VWXY = ½ x 18 cm (24 cm – 9 cm)

Luas VWXY = 135 cm²

Soal 6

Diketahui luas suatu layang-layang adalah 192 cm². Jika diagonal d1 dan d2 memiliki perbandingan d1 : d2 = 2 : 3, tentukan panjang diagonal d1 dan d2.

Penyelesaian:

Untuk mencari panjang diagonal d1 dan d2 bisa kita gunakan rumus luas layang-layang yaitu:

L = ½ x d1 x d2

192 cm² = ½ x d1 x d2

192 cm² = ½ x d1 x d2

384 cm² = d1 x d2

Masing-masing panjang d1 dan d2 dapat dicari dengan konsep perbandingan dimana d1 : d2 = 2 : 3, maka dapat kita misalkan: d1 = 2x dan d2 = 3x, dengan memasukan ke rumus luas sebelumnya sehingga di dapat:

384 cm² = d1 x d2

384 cm² = 2x x 3x

384 cm² = 6x²

x² = 384 cm²/6

x² = 64 cm²

x = √64 cm²

x = 8 cm

Dengan memasukan kepersamaan tadi maka panjang d1 dan d2 di dapat:

d1 = 2x = 2.8 cm = 16 cm

d2 = 3x = 3.8 cm = 24 cm

Soal 7

Perhatikan gambar di bawah ini.

 

Gambar di atas merupakan sebuah bangun layang-layang PQRS. Jika diketahui panjang PR = 16 cm, QS = (x + 3) cm, dan luas PQRS = 112 cm². Tentukan panjang QS.

Penyelesian:

Cari nilai x dengan menggunakan konsep luas layang-layang, yakni:
L = ½ x PR x QS

112 cm² = ½ x 16 cm x (x + 3) cm

112 = 8x + 24

8x = 88

x = 11


Masukan nilai x ke persamaan QS = (x + 3) cm, maka panjang QS yakni:

QS = (x + 3) cm

QS = (11 + 3) cm

QS = 14 cm
Jadi panjang QS adalah 14 cm.

Soal 8

Perhatikan gambar di berikut ini.

Diketahui titik K, L, M, dan N masing-masing adalah titik tengah dari PQ, QO, RO, dan SO. Jika panjang 2QS = 3PR dan luas layang-layang PQRS adalah 60 cm². Tentukan perbandingan luas PQRS dengan KLMN.

Penyelesaian:

Dari soal diketahui:

2QS = 3PR

QS = 3PR/2

Cari panjang PR dengan rumus luas layang-layang, yakni:

Luas = ½ x PR x QS

60 cm² =  ½ x PR x 3PR/2

60 cm² =  3PR²/4

PR² = 80 cm²

PR = 4√5 cm

Sekarang cari panjang QS, yakni:

QS = 3PR/2

QS = 3. 4√5 cm/2

QS = 6√5 cm

Karena layang-layang KLMN merupakan setengah diagonal layang-layang PQRS maka:

NO = ½ x 6√5 cm = 3√5 cm

OP = ½ x 4√5 cm = 2√5 cm

maka luas layang-layang KLMN adalah:

Luas = ½ x NO x OP

Luas = ½ x 3√5 cm x 2√5 cm

Luas = 15 cm²

Luas PQRS : Luas KLMN = 60 cm² : 15 cm² = 2 : 1

Trik Berhitung Matematika

         1.    Pengkuadratan 2 angka bilangan yang diakhiri dengan angka 1

Langkah-langkah

    1.      Kuadratkan angka bulatnya

    2.      Jumlahkan angka tersebut dengan angka bulatnya

    3.      Hasil akhirnya adalah hasil 1 & 2

Contoh soal

    a.      81²=..?

    1.      80²=6400

    2.      81+80=161

    3.      Hasil 6400+161=6561

         2.    Pengkuadratan 2 angka bilangan yang dimulai dengan 5

Langkah-langkah

   1.      Tambahkan bilangan 25 dengan bilangan satuannya

   2.      Kuadratkan bilangan satuanya (kusus untuk angka 1,2 dan 3, hasil kuadratnya dituliskan 01,04             dan 09)

   3.      Hasil akhir adalah gabungan 1 & 2

Contoh soal

   a.      53²=..?

   1.      25+3=28

   2.      3²=09

   3.      Hasil 2809

3.Pengkuadratan angka berakhiran lima

Langkah-langkah

   1.      Kalikan angka sebelum angka lima dengan angka urutan selanjutnya

   2.      Tuliskan angka 25 di belakang angka hasil dari  no 1

Contoh soal

   a.      75²=..?

   1.      7x8=56

   2.      Hasil 5625

4.Perkalian dua bilangan yang nilainya berselisih dua

Langkah-langkah

   1.      Kuadratkan bilangan diantaranya

   2.      Hasil no 1 dikurang 1

Contoh soal

   a.      12x14=...?

   1.      13²=169

   2.      Hasil : 169-1=168

5.Perkalian dua bilangan dengan hubungan kusus bilangan puluhannya bernilai sama dan jumlah bilangan satuanya adalah  10

Langkah-langkah

   1.      Kalikan bilangan puluhan dengan bilangan berikutnya

   2.      Kalikan masing-masing bilangan satuannya

   3.      Hasilnya adalah gabungan dari no 1 & 2

Contoh soal

   a)      28x22=...?

   1.      2x3=6

   2.      8x2= 16

   3.      Hasilnya 616

Menghitung ALJABAR  dengan  mudah SMP kelas VII

            Aljabar adalah mempunyai banyak persamaan dengan aritmatik. Seperti yang kita ketahui sebelumnya, seperti penjumlahan, pengurangan,perkalian, pembagian, simbol yang telah kita gunakan dan cara dalam menyelesikan soal,semoga berguna dalam mempelajari contoh soal dibawah ini. Ada dua hal yang membedakan antara aritmatik dan aljabar. Salah satunya adalah penggunaan huruf untuk melambangkan angka, dan kita akan melihat dalam contoh

berikut yang membuat penyelesaian soal menjadi lebih mudah.

 Contoh – Contoh soal

1.      Jika dua bilangan selisihnya adalah 48, dan angka yang satu adalah lima kali dari angka yang lain, bilangan berapakah itu?

Penyelesaian:

Misal x= bilangan yang lebih kecil;                                                      

maka  5x= bilangan yang lebih besar,       

5x - x= 48,        

4x= 48;

dengan demikian  x= 12,        

5x= 60.

Bilangan tersebut adalah 12 dan 60

.         2.  Ada tiga angka yang apabila di jumlahkan adalah 96. angka yang ke dua adalah tiga kali dari angka yang pertama. angka yang ke tiga adalah empat kali dari angka yang pertama. Bilangan berapakah itu?

Penyelesaian:

Misal x= angka yang pertama,

3x= angka yang ke dua,

4x= angka yang ke tiga.

x +3x +4x= 96

8x= 96

x= 12

3x= 36

4x= 48

Bilangan tersebut adalah 12, 36, dan 48.

3.      Bagilah angka 126 menjadi dua bilangan sehingga bilangan yang pertama selisihnya adalah 8 dari bilangan yang lain

Penyelesaian:

Misal x= bilangan yang lebih kecil,

x +8= bilangan yang lebih besar;.

x + x +8= 126

2x +8= 126

2x= 118

x= 59

x +8= 67

Bilangan tersebut adalah 59 dan 67.

4.        Jumlah dua bilangan adalah 25.  tiga kali bilangan yang lebih kecil dikurangi bilangan yang lebih besar adalah 3 . Bilangan berapakah itu?

Penyelesaian:

Misal x= bilangan yang lebih kecil,

3x - 3= bilangan yang lebih besar.

x +3x - 3= 25

4x - 3= 25

4x= 28²

x= 7

3x - 3= 18

Bilangan tersebut adalah  7 dan 18.

 

        5.      Ari akan membeli  apel  dan jeruk. Uang Ari 78 cent. jumlah jeruk yang mau dibeli dua kali dari jumlah apel. harga apel adalah 3 cent per buah. dan harga jeruk 5 cent per buah. berapakah jumlah masing masing buah yang bisa dibeli Ari?

Penyelesaian:

Misal 

x =  jumlah apel,

2x = jumlah jeruk,

3x =  harga semua apel,

10x =  harga semua jeruk.

3x +10 x =  78

13x =  78

x =  6

2 x = 12

Ari membeli  6 apel dan 12 jeruk.

 6.      Bagilah bilangan 72 menjadi dua bilangan, sehingga bilangan yang satu menjadi satu per delapan dari bilangan yang lain.

Solusi.

Misal  x = bilangan yang lebih besar,

¹/₈  x = bilangan yang lebih kecil,

x + ¹/₈  x =72

⁹/₈  x =72

¹/₈ x =8

x =64

 Bilangan tersebut adalah 64 dan 8.

  

Semoga bermanfaat :)

Pytagoras

A.      Teorema Pythagoras

  Pythagoras menyatakan bahwa : “Untuk setiap segitiga siku-siku berlaku kuadrat panjang sisi miring (Hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya.”

     jika c adalah panjang sisi miring/hipotenusa segitiga, a dan b adalah panjang sisi siku-siku. Berdasarkan teorema Pythagoras di atas maka diperoleh hubungan:
c² = a² + b²
Dalil pythagoras di atas dapat diturunkan menjadi:
a² = c² – b²
b² = c² – a²

Catatan : Dalam menentukan persamaan Pythagoras yang perlu diperhatikan adalah siapa yang berkedudukan sebagai hipotenusa/sisi miring.
Contoh :

Tentukan rumus pythagoras dan turunan dari segitiga yang memiliki panjang sisi miring a dan sisi siku-sikunya b dan c.
Rumus Pythagoras      : a² = b² + c²
Turunannya                   : b² = a² – c²
                                               c² = a² – b²
B.       Menghitung Panjang sisi segitiga siku-siku
Contoh :
1. Pada suatu segitiga ABC siku-siku di titik A. panjang AB= 4 cm dan AC= 3 cm.  Hitunglah panjang BC!
Jawab:
BC² = AC² + AB²
BC² = 3² + 4²
BC² = 9 + 16
BC² = 25
BC  = 5 cm

2. Panjang sisi siku-siku dalam segitiga siku-siku adalah 4x cm dan 3x cm. Jika panjang sisi hipotenusanya 20 cm. Tentukan nilai x.
AC² = AB² + BC²
20²  = (4x)² + (3x)²
400  = 16x² + 9x^2\
400  = 25x²
16    = x²
= x

3. Sebuah kapal berlayar ke arah Barat sejauh 80 km, kemudian ke arah utara sejauh 60 km. Hitunglah jarak kapal sekarang dari jarak semula.
jawab:
OU² = OB² + UB²
OU² = 80² + 60²
OU² = 6.400 + 3.600
OU² = 10.000
OU  = 100 km